%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ ��R ���� } % �����̖��O
\Ddate{ 2003/11/14 } % �쐬��
\Dfile{ sec0405.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{4}    % (�͔ԍ�) �������
\setcounter{subsection}{4} % (�ߔԍ� -1) �������
\setcounter{footnote}{16}  % 
\setcounter{equation}{94}   % (���ԍ� -1) �������
\setcounter{page}{20}
\setcounter{figure}{7}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
\subsection{���]�ό`} % �߂̃^�C�g��
% ��������{���������ĉ�����.
4.4�߂ł́C�f���̂܂����܂��q���ɂ���ċN���钪���ɂ��C�f���\�ʂ��ǂ̂悤�ɕό`���邩�����Ă����D
�j�ƃ}���g���ɂ���Đ���f�����l���邱�ƂŁC���ꂼ��̕ό`�ɂ��Ă̎���������D
�ł��d�v�Ȃ��Ƃ́C�ό`�����f���̌`(�}4.6)�͘f���Ɖq�������Ԑ��ɉ�����������$a$�C�Ώ̎�(�f���Ɖq�������Ԑ�)�Ɛ����Ɍ����~��`�����Z��$b=c$�̕ΐS��]�ȉ~�̂ɂ���Č��ς�����C�Ƃ������Ƃł���D
��]�ȉ~�̂́C�Ώ̎�����Ƃ����p�x$\psi$��2���̃��W�����h��������$\mathcal{P}_2(\cos\psi)$��p���Č`�����D
���̐߂ł́C�����ό`�ɂ���ē����ꂽ��͌��ʂ̑������C���]�ό`�ɒ��ړK�p�ł���Ƃ������Ƃ����Ă����D


�p���x$\Omega$�Ŏ��]���鍄�̘̂f���̉�]�ȉ~�̂��l���Ă݂悤(�}4.8)�D
�\�ʏ�̓_$P$�͉��S�����x$\textbf{a}_{\mathrm{cf,x}} =\Omega^2 r \sin\theta \hat{\textbf{x}} $���󂯂Ă���
$x = r \sin\theta$�Ȃ̂ŁC$\textbf{a}_{\mathrm{cf,x}} =\Omega^2  x  \hat{\textbf{x}}$�D
�Ώ̂ɂ��$y-z$���ʏ�̓��l�̓_��$\textbf{a}_{\mathrm{cf,y}} =\Omega^2  y  \hat{\textbf{y}}$���󂯂�D�f���̎��]�͎��]���ɉ����������ɂ͉����x���N�����Ȃ��D����̂ɁC�\�ʏ�̔C�ӂ̓_$(x , y , z)$�͈ȉ��̉����x���󂯂�
\begin{equation}   %%%95%%%
	\textbf{a}_{\mathrm{cf}} =\Omega^2 ( x \hat{\textbf{x}} + y \hat{\textbf{y}}  ).
\end{equation}
���S�|�e���V����$V_{\mathrm{cf}}$�ɂ��C���̉��S�����x���l���邱�Ƃ��ł��C$\textbf{a}_{\mathrm{cf}}  =  - \nabla V_{\mathrm{cf}} $�ŁC�ɂ���̗]�ܓx��
\begin{equation}  %%%96%%%
	V_{\mathrm{cf}} ( r   , \theta  )  = -\frac{1}{2} \Omega ^2 r^2 \sin^2\theta .
\end{equation}

%%%%%%%figure 4.8%%%%%%%
\begin{figure}[htbp] 
\begin{center}
	\includegraphics[width=7cm,height=6.7793cm]{./figure/4_8.jpg}
\end{center}

\caption{�����x$\Omega$�Ŏ��]����f����̓_$P$($x-z���ʓ�$)���󂯂�����x�D������$\theta$��$z$��(���]��)����Ƃ����p�x�ł���C$r$�͓��a�����̋����ł���D}
	\label{figure.4.8}
\end{figure}


�����Řf���̕\�ʂ𕢂��C���l���Ă݂悤�D���̂̂����鑍�|�e���V������
\begin{equation}  %%%97%%%
	V_{\mathrm{total}} ( r   , \theta  )  = -\frac{ \mathcal{G} m_p}{r}  + V_{\mathrm{cf}} ( r   , \theta  ).
\end{equation}
���t�Ȃ�΁C���̂̕\�ʂ͓��|�e���V�����ʂɂȂ�C�Ǐ��I�ɏd�͉����x�Ɖ��S�����x�̘a�ɑ΂��Đ����ɂȂ��Ă���D�C�ʂ̋��̂���̂���͏������Ɖ��肵�āC
\begin{equation}  %%%98%%%
	r_{\mathrm{ocean}}  =  a + \delta r(\theta)
\end{equation}
������$a = r_{\mathrm{equatorial}}$�ł���C�f���̐ԓ����a(equatorial radius)�ł���D
����ĕ\�ʂ̃|�e���V�����͈��ł���
\begin{equation}  %%%99%%%
	V_{\mathrm{total}} (surface ) \approx  -\frac{ \mathcal{G} m_p}{a} + \frac{ \mathcal{G} m_p}{a^2} \delta r - \frac{1}{2}  \Omega ^2 a^2 \sin^2\theta  - \Omega ^2 a \sin^2\theta \delta r . 
\end{equation}
�قƂ�ǂ̘f����$\Omega ^2 a \ll  \mathcal{G} m_p / a^2$�Ȃ̂�(�ȉ��ŏq�ׂ�)�C��(4.99)�̍Ō�̍��͖����ł���D����������
\begin{equation}  %%%100%%%
	\delta r \approx  constant   + \frac{\Omega ^2 a^4}{ 2  \mathcal{G} m_p} \sin^2\theta . 
\end{equation}
�����̂��Ƃ���C�ɂɂ����āC���]�̉e���ɂ���ĕ���ɂȂ�ƍl������D�ό`�̒��x�́C�f����\textbf{�Ε���}(oblateness)�C��������\textbf{�Ε���}(flattening)�ɂ���Č��ς��邱�Ƃ��ł�
\begin{equation}  %%%101%%%
	f = \frac{r_{\mathrm{equatorial}}  - r_{\mathrm{pole}}  }{ r_{\mathrm{equatorial}} }. 
\end{equation}
�ȏ�̂��Ƃ���C�f���ɂ�����$f \approx q/2 $�ƂȂ�C������
\begin{equation}  %%%102%%%
	q   =   \frac{\Omega ^2 a^3}{ \mathcal{G} m_p}
\end{equation}
����͖������̗ʂŐԓ��ł̉��S�����x�Əd�͉����x�̔�Ɠ������D
�������Ȃ���C�f���̏d�͏�ɂ����āC�f�������͂⋅�̂���ό`���Ă���Ƃ������Ƃ��l����ƁC���]�ɂ��ό`�����t�B�[�h�o�b�N�̌��ʂ������ł͖������Ă���D


�ό`�ɂ����ʂ��������O�ɁC�ɒ[�ȏꍇ���l���Ă݂�Ƃ悢�D$ q \to 1  $�Ƃ���ƁC�f���̎��]���x�̏����������D��(4.102)���\footnote{��(4.103)�̉E�� $a( \mathcal{G}\langle \rho \rangle)^{1/2}$�͌�A�D}
\begin{equation}  %%%103%%%
	\Omega_{\mathrm{max}} \approx \biggl(  \frac{ \mathcal{G} m_p}{a^3} \biggr)^{1/2}  \approx 2( \mathcal{G}\langle \rho \rangle)^{1/2}     ,
\end{equation}
������$\langle \rho \rangle$�͘f���̕��ϖ��x�ł���D�n���ł�$\langle \rho \rangle = 5.52 $ g cm$^{-3}$�ł���C$ \Omega _{\mathrm{max}} \approx 1.2 \times  10^{-3}$ rad s$^{-1}$���̂Ƃ����]������$ P_{\mathrm{min}} = 1.4$ h �ł���D
�ؐ��ł�$ P_{\mathrm{min}} \approx 2.9 $ h �C���ۂ̎��]������9.9 h�ł���D



���]�ɂ��Ε��ɂ��C�قƂ�ǂ̘f����(�������Ȃ���q���ł͂قƂ�ǂ��Ă͂܂�Ȃ���)�ΐS��]�ȉ~�̂Ƌߎ����Ĉ������Ƃ��ł���(�܂�C2�̓���������($a=b$)�ƁC1�̒Z��($c$)������3���ȉ~��)�D�|�e���V�������_���瓾�����{�I�Ȍ��ʂɂ��C
�Ώ̎��������̂́C�O���̏d�̓|�e���V�����͈ȉ��̂悤�ɏ���
\footnote{��(4.104)�ŁC�e�L�X�g$\mathcal{P}_2(\cos\theta)$�͌�A}
\begin{equation}  %%%104%%%
	V_{\mathrm{gravity}} ( r , \theta )  = - \frac{ \mathcal{G}m}{r} \Biggl[ 1 - \sum_{n=2}^{\infty} J_n \biggl( \frac{R}{r}\biggr)^n \mathcal{P}_n(\cos\theta) \Biggr] ,
\end{equation}
������$m$�͑����ʂŁC$R$($=a $���]�ό`�̏ꍇ��$a$�Ɠ�����)�͐ԓ����a�C$J_n$�͖������̒萔�C4.3�߂Ō���ꂽ�悤�ɁC$\mathcal{P}_n(\cos\theta)$��n���̃��W�����h���������ł���D���W�̌��_�𕨑̂̏d�S�ɂƂ����̂ŁC$n=1$�̍����������Ƃɒ��ڂ��ꂽ���D$J_n$�͕��̂̓����̎��ʕ��z�𔽉f���Ă���C�ЂƂ̘f���ɂ��Ď����ɂ���Č��߂��Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ��D�����̗ʂŁC�ł��d�v�Ȃ̂�$J_2$\footnote{$J_2$�͐ԓ��ʂ̂͂�o��������킷�W���ł���D}�ł���C�厲�܂���3�̊����\��$\mathcal{A,B,C}$�ɂ��Ă̒P���ȕ����I���߂����邱�Ƃ��ł���DMacCullagh's �藝(��(5.36)�Q��
\footnote{��(5.36)�C�܂�$I = \sum \delta m R^2 \sin^2\theta $
\begin{eqnarray}
V = - \frac{ \mathcal{G}m_s}{r} - \frac{ \mathcal{G}(\mathcal{A+B+C}-3I)}{2r^3} \nonumber
\end{eqnarray}
}�C�܂�Cook 1973 �ɂ�蓱�o)�ɂ��ȉ��̂悤�ɏ���(Cook 1980)
\begin{equation}  %%%105%%%
	J_2 = \frac{ \mathcal{C} - \frac{1}{2}(\mathcal{A+B}) }{ma^2} \approx \frac{\mathcal{C-A}}{ma^2} ,
\end{equation}
�����Ŏ��]�ɂ��c�݂̂悤��$\mathcal{A \approx B}$�̂Ƃ��C�ߎ����ł���D
��ʓI�ɁC$J_n$�͐ϕ��ɂ���ė^�����
\begin{equation}  %%%106%%%
	J_n = + \frac{1}{m R^n} \int_{0}^{R} \int_{-1}^{+1} r^n \mathcal{P}_n(\mu) \rho(r,\mu) 2\pi r^2 d\mu dr ,
\end{equation}
������$\mu = \cos\theta$�C$\rho(r,\mu)$�͓����̖��x���z�ł���D$\mathcal{P}_n(\mu)$�͊�֐��Ȃ̂ŁC���n�̂Ƃ��C$J_3=J_5 = J_7 =\cdots =0$�ƂȂ�C
�f���ɂ����Ėk�����Ɠ씼���͑Ώ̂ł���D
���ۂ́C�[���łȂ�$J_3$�̒l�������Ă���̂͒n�������ł���D$q$�͏������ꍇ�C$J_n \propto q^{n/2} $�Ə����C�����Ŕ��萔�͕���1�̃I�[�_�[�ł���D����̂ɁC��ʂ�$q\ll 1$�Ȃ̂ŁC$J_n$�̍����̍��͋}���ɏ������Ȃ�D�ψ�Ȗ��x�����f���ł́C$J_2 = q/2	$�ł���D$J_2$�����$J_4$�̒l�͕\A.4�ɍڂ��Ă���D


�����Ŏ��]����f���̕Ε������v�Z������ɖ߂邱�Ƃ��ł���D��(4.96)�ŗ^����ꂽ���S�|�e���V�������ȉ��̂悤�ɏ���
\begin{equation}  %%%107%%%
	V_{\mathrm{cf}} = \frac{1}{3} \Omega ^2 r^2 [\mathcal{P}_2 (\mu) -1] .
\end{equation}
������$\mu$�Ɉˑ����Ȃ����͖����ł���D�Ȃ�̂��߂��Ƃ����ƁC�f���̏d�͏�ɂ�����$V_{\mathrm{cf}}$��$J_2$�̍��Ɠ����p�ˑ��������悤�ɂ��邽�߂ł���D���C�f���̕\�ʂ̊C�ɂ�鑍�|�e���V������
\begin{equation}  %%%108%%%
	V_{\mathrm{total}} (r , \theta )  =  -\frac{ \mathcal{G} m_p}{r} + \Biggl[ \frac{ \mathcal{G} m_p a^2}{r^3} J_2 + \frac{1}{3} \Omega ^2 r^2  \Biggr] \mathcal{P}_2(\mu)  ,
\end{equation}
������$J_4$�C$J_6$�Ȃǂ͖��������D���łɏo�Ă����悤�ɁC�\�ʂ𓙃|�e���V�����Ƃ���$r  =  a + \delta r(\theta)$�Ə����D��(4.108)�ɑ�����ēW�J�����
\begin{equation} %%%109%%%
	\delta r = constant - \biggl[  J_2 + \frac{1}{3}q \biggr] R \mathcal{P}_2(\mu) .
\end{equation}
���̎��𓾂邽�߂ɁC����$\delta r$�̐V�����\���Ɏ�(4.101)�ɂ�����$f$�̒�`��p���邱�Ƃ��ł��C
\begin{equation}  %%%110%%%
		  f  = \frac{3}{2} J_2 + \frac{1}{2}q ,
\end{equation}
�ȑO�ɓ�������$f \approx q/2$��u�������Ă���DYoder(1995)��p����ƁC$f$�̌v�Z�l�Ɗϑ��l���ׂ邱�Ƃ��ł���D�n���ł�$f_{\mathrm{calc}}=0.003349$�C$f_{\mathrm{obs}}=0.003353$�ł���D�ؐ��̏ꍇ$f_{\mathrm{calc}}=0.06670$�C$f_{\mathrm{obs}}=0.06487$�ł���D���̒l�͖ؐ��̉~�Ց��ɂ����ċɂ�����ɂȂ��Ă���̂�ڂŊm�F�ł���قǑ傫�����̂ł���D���̔�r����C��(4.110)�͖��炩�ɕΕ����̂悢���ς����^���Ă���ƌ�����D


�����ό`�����]�ό`�������C�\�ʂ������グ�āC
2���̃��W�����h���������̊֌W�ɂ���Č`�����Ƃ��������́C
�j�ƃ}���g���ɂ���Đ���f���̒����ό`�ɂ��ďq�ׂ�4.4�߂̒��Ŕ��W�������_�́C
���]�ό`�ɂ����Ă����ړK�p�ł���Ƃ����Ƃ��Ӗ�����D
�ǂ���̏ꍇ�ɂ����Ă��ό`�̒��x�𑪂邱�ƂŁC�f���̓����\���ɂ��Ă̏��𖾂炩�ɂ��邱�Ƃ��ł���D
������񂻂̗��_�́C�q����(i)�f���ɂ���ċN���钪���C(ii)�q�����g�̎��]�C
�ɂ���ĕό`����ꍇ�ɂ������悤�ɓK�p���邱�Ƃ��ł���D
4.7�߂ł�,�������]����q���ɂ�����ό`�Ƃ������ʂȏꍇ�ɂ��ďq�ׂ�.


�f����$J_2$�́C�q���⃊���O�����Ȃǂ̋O���V�̂ɂ���Ă�����d�͏��a�炰��D��v�Ȍ��ʂ́C�O���^�������Ă���V�̂̑ȉ~�̋O������]����C�܂��Ԃɂ�����΍��^���ł���D�͊w�I�Ȍ��ʂɂ��ẮC��6.11,7.7,7.9,8.11�ł��ڂ����c�_����Ă���D���̖ړI�̂��߂ɂ́C�ȉ��̂��Ƃ�m���Ă���Ώ\���ł���C$J_2$�ɂ��΍��^���̌��ʂ́C�q���̋O���C�܂��ׂ͍��ΐS�I�ȃ����O���Ď����邱�ƂŒ��ڊϑ����邱�Ƃ��ł���D����̂ɁC$J_2$�͊ϑ��\�ȗʂł���C��(4.105)�ɂ��C$J_2$���C2�̎劵���\���̍��ł���$\mathcal{C-A}$�Ɗ֘A�t���邱�Ƃ��ł���D


�������Ȃ���C���ꂼ��ʁX�Ɍv�Z���邽�߂ɁC����ɂ���ē����̃��f����m�邽�߂ɁC$\mathcal{C}$��$\mathcal{A}$�̊Ԃ̊֌W������ɕK�v�ł���D
�n���ɂ�����ЂƂ̕��@�́C���]�ɂ���ĕΕ����Ă���n���ɂ�����C���z�ƌ��ɂ���ċy�ڂ����g���N�̌��ʂ��ώ@���邱�Ƃł���D
����͒n���̎��]�����C�n���̋O���ʂɑ΂��Đ����ɁC$(\mathcal{C-A})/\mathcal{C}$�ɔ�Ⴕ�������ŉ�]����(Cook 1980)�C���̌��ʂ�\textbf{�����z�΍��^��}(luni-solar precession)�ƌĂ΂��D
���݂ł́C����$\mathcal{C}$��$\mathcal{A}$�����߂���@�́C�n���|���n�ɂ݂̂��Ă͂߂邱�Ƃ��ł�����̂ł���D���̘f���ł́C���̕��@��p���Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��D

\clearpage


%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
